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14. 浮点数运算:问题和局限

浮点数在计算机硬件中表示为以 2 为底(二进制)的小数。例如,十进制小数

0.125

是1/10 + 2/100 + 5/1000 的值,同样二进制小数

0.001

是 0/2 + 0/4 + 1/8 的值。这两个小数具有相同的值,唯一真正的区别是,第一个小数是十进制表示法,第二个是二进制表示法。

不幸的是,大多数十进制小数不能完全用二进制小数表示。结果是,一般情况下,你输入的十进制浮点数仅由实际存储在计算机中的近似的二进制浮点数表示。

这个问题在十进制情况下很容易理解。考虑分数 1/3,你可以用十进制小数近似它:

0.3

或者更接近的

0.33

或者再接近一点的

0.333

等等。无论你愿意写多少位数字,结果永远不会是精确的 1/3,但将会越来越好地逼近 1/3。

同样地,无论你使用多少位的二进制数,都无法确切地表示十进制值 0.1。1/10 用二进制表示是一个无限循环的小数。

0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

在任何有限数量的位停下来,你得到的都是近似值。今天在大多数机器上,浮点数的近似使用的小数以最高的53位为分子,2的幂为分母。至于1/10这种情况,其二进制小数是3602879701896397 / 2 **55,它非常接近但不完全等于1/10真实的值。

由于显示方式的原因,许多使用者意识不到是近似值。Python 只打印机器中存储的二进制值的十进制近似值。在大多数机器上,如果 Python 要打印 0.1 存储的二进制的真正近似值,将会显示

>>> 0.1
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

这么多位的数字对大多数人是没有用的,所以 Python 显示一个舍入的值

>>> 1 / 10
0.1

只要记住即使打印的结果看上去是精确的1/10,真正存储的值是最近似的二进制小数。

例如,数字0.10.100000000000000010.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 都以3602879701896397 / 2 ** 55为近似值。因为所有这些十进制数共享相同的近似值,在保持恒等式eval(repr(x)) == x的同时,显示的可能是它们中的任何一个。

现在从Python 3.1 开始,Python(在大多数系统上)能够从这些数字当中选择最短的一个并简单地显示0.1

注意,这是二进制浮点数的自然性质:它不是 Python 中的一个 bug ,也不是你的代码中的 bug。你会看到所有支持硬件浮点数算法的语言都会有这个现象(尽管有些语言默认情况下或者在所有输出模式下可能不会显示 出差异)。

为了输出更好看,你可能想用字符串格式化来生成固定位数的有效数字:

>>> format(math.pi, '.12g') # give 12 significant digits
'3.14159265359'>>> format(math.pi, '.2f') # give 2 digits after the point
'3.14'>>> repr(math.pi)
'3.141592653589793'

认识到这,在真正意义上,是一种错觉是很重要的:你在简单地舍入真实机器值的显示。

例如,既然0.1不是精确的1/10,3个0.1的值相加可能也不会得到精确的0.3:

>>> .1 + .1 + .1 == .3
False

另外,既然0.1不能更接近1/10的精确值而且0.3不能更接近3/10的精确值,使用round()函数提前舍入也没有帮助:

>>> round(.1, 1) + round(.1, 1) + round(.1, 1) == round(.3, 1)
False

虽然这些数字不可能再更接近它们想要的精确值,round()函数可以用于在计算之后进行舍入,这样的话不精确的结果就可以和另外一个相比较了:

>>> round(.1 + .1 + .1, 10) == round(.3, 10)
True

二进制浮点数计算有很多这样意想不到的结果。“0.1”的问题在下面"误差的表示"一节中有准确详细的解释。更完整的常见怪异现象请参见浮点数的危险。

最后我要说,“没有简单的答案”。也不要过分小心浮点数!Python 浮点数计算中的误差源之于浮点数硬件,大多数机器上每次计算误差不超过 2**53 分之一。对于大多数任务这已经足够了,但是你要在心中记住这不是十进制算法,每个浮点数计算可能会带来一个新的舍入错误。

虽然确实有问题存在,对于大多数平常的浮点数运算,你只要简单地将最终显示的结果舍入到你期望的十进制位数,你就会得到你期望的最终结果。str()通常已经足够用了,对于更好的控制可以参阅格式化字符串语法中str.format()方法的格式说明符。

对于需要精确十进制表示的情况,可以尝试使用decimal模块,它实现的十进制运算适合会计方面的应用和高精度要求的应用。

fractions模块支持另外一种形式的运算,它实现的运算基于有理数(因此像1/3这样的数字可以精确地表示)。

如果你是浮点数操作的重度使用者,你应该看一下由SciPy项目提供的Numerical Python包和其它用于数学和统计学的包。参看<http://scipy.org>。

当你真的真想要知道浮点数精确值的时候,Python 提供这样的工具可以帮助你。float.as_integer_ratio()方法以分数的形式表示一个浮点数的值:

>>> x = 3.14159
>>> x.as_integer_ratio()
(3537115888337719, 1125899906842624)

因为比值是精确的,它可以用来无损地重新生成初始值:

>>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624
True

float.hex()方法以十六进制表示浮点数,给出的同样是计算机存储的精确值:

>>> x.hex()
'0x1.921f9f01b866ep+1'

精确的十六进制表示可以用来准确地重新构建浮点数:

>>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')
True

因为可以精确表示,所以可以用在不同版本的Python(与平台相关)之间可靠地移植数据以及与支持同样格式的其它语言(例如Java和C99)交换数据。

另外一个有用的工具是math.fsum()函数,它帮助求和过程中减少精度的损失。当数值在不停地相加的时候,它会跟踪“丢弃的数字”。这可以给总体的准确度带来不同,以至于错误不会累积到影响最终结果的点:

>>> sum([0.1] * 10) == 1.0
False
>>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0
True

14.1. 二进制表示的误差

这一节将详细解释“0.1”那个示例,并向你演示对于类似的情况自已如何做一个精确的分析。假设你已经基本了解浮点数的二进制表示。

二进制表示的误差 指的是这一事实,一些(实际上是大多数) 十进制小数不能精确地用二进制小数表示。这是为什么 Python(或者 Perl、 C、 C++、 Java、 Fortran和其他许多语言)通常不会显示你期望的精确的十进制数的主要原因。

这是为什么?1/10 和 2/10 不能用二进制小数精确表示。今天(2010 年 7 月)几乎所有的机器都使用 IEEE-754 浮点数算法,几乎所有的平台都将 Python 的浮点数映射成 IEEE-754“双精度浮点数”。754 双精度浮点数包含 53 位的精度,所以输入时计算机努力将 0.1 转换为最接近的 J/2**N 形式的小数,其中J 是一个 53 位的整数。改写

1 / 10 ~= J / (2**N)

J ~= 2**N / 10

回想一下?J?有 53 位(>= 2**52< 2**53),所以 N 的最佳值是 56:

>>> 2**52 <= 2**56 // 10 < 2**53
True

即 56 是 N ?保证 J 具有 53 位精度的唯一可能的值。J 可能的最佳值是商的舍入:

>>> q, r = divmod(2**56, 10)
>>> r
6

由于余数大于 10 的一半,最佳的近似值是向上舍入:

>>> q+1
7205759403792794

因此在 754 双精度下 1/10 的最佳近似是:

7205759403792794 / 2 ** 56

分子和分母都除以2将小数缩小到:

3602879701896397 / 2 ** 55

请注意由于我们向上舍入,这其实有点大于 1/10;如果我们没有向上舍入,商数就会有点小于 1/10。但在任何情况下它都不可能是精确的 1/10!

所以计算机从来没有"看到"1/10: 它看到的是上面给出的精确的小数,754 双精度下可以获得的最佳的近似了:

>>> 0.1 * 2 ** 55
3602879701896397.0

如果我们把这小数乘以 10**55,我们可以看到其55位十进制数的值:

>>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

也就是说存储在计算机中的精确数字等于十进制值 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625。许多语言(包括旧版本的Python)会把结果舍入到17位有效数字,而不是显示全部的十进制值:

>>> format(0.1, '.17f')
'0.10000000000000001'

fractionsdecimal 模块使得这些计算很简单:

>>> from decimal import Decimal
>>> from fractions import Fraction>>> Fraction.from_float(0.1)
Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)>>> (0.1).as_integer_ratio()
(3602879701896397, 36028797018963968)
>>> Decimal.from_float(0.1)
Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')
>>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
'0.10000000000000001'

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